关于”四色定理“的证明

    关于“四色定理”的证明

            朱 狄 军

                2023.12.12

             第一章    概    论

    §1―1    在二维平面上，任一封闭曲线所获得的对应区域，我

们定义为国家。该封闭曲线则定义为边界。

    若干国家集中在某一特定有限平（或曲）面内，则构成了地图。

    我们以字母Gi表示国家及其序号。这里i＝1；2；3……

        §1―2    两个国家之间以它们有否公共边界分为两种相互位

置状态：

    1，有公共边界，则称该两个国家相邻；

    2，无公共边界（含两者点接触），则称该两个国家独处。

    §1―3    为使地图清晰可读，每个国家均须敷以各种不同颜色。

    我们将不同的颜色分别冠以色号：1#，2#，3#……

    地图上敷设了n种颜色，我们就称该地图此时的颜色系数M＝n。

    §1―4    我们对地图进行敷色时，有如下约定：

    1，必须保证每个国家均敷有颜色；

    2，相邻国家不能敷以同一种颜色；

    3，优先选用色号尽可能小的颜色。

    §1―5    我们将证明，所有地图，均可有：M ≤4.

                  第二章    敷    色

    所谓要证明地图上均有M≤4. 就是要寻求一种敷色方法，能保

证M≤4永远成立！

        一帧地图尚没有敷色，此时则有M＝0.

    我们首选面积较大的Gi设为G1，而后依次对各Gi进行敷色：

    1，对G1敷色，我们将义无反顾地优先敷以1#，此时显有M＝1.

    2，对G2敷色，G2仅与1#相邻，即必敷以2#，此时则有M＝2.

    3，对G3敷色，G3或与1#相邻，即可敷以2#，此时仍有M＝2；

      G3或与2#相邻，即可敷以1#，此时亦有M＝2；

                 G3与1#2#同时相邻，即必敷以3#，此时故有M＝3.

    4，对G4敷色，G4或与1#相邻，即可敷以2#，则有M＝2或M＝3；

                 G4或与2#相邻，即可敷以1#，则有M＝2或M＝3；

      G4或与3#相邻，即可敷以1#，则有M＝3；

      G4与1#2#同时相邻，即须敷以3#，此时有M＝3；

      G4与1#3#同时相邻，即须敷以2#，此时有M＝3；

      G4与2#3#同时相邻，即须敷以1#，此时有M＝3；

      G4与1#2#3#同时相邻，则必敷以4#，此时有M＝4.

               第三章    等效参数

        由第二章可见，我们敷色是以G1为中心，而后逐一毗邻地径向

    进行，敷色面积即呈辐射状向外扩展。

    后续Gi被依次敷色时，仅和已敷色区域的周边若干颜色（国家）

相邻。大部分中间已经敷了的颜色对后续Gi的敷色没有任何关联。

    由此，我们可以导引出下述等效概念：

    我们随时可把届时业已敷了颜色的区域视同一个国家，把它定义

为等效国家。

    等效国家内最外沿的若干Gi（后续Gi行将与之相邻的）构成了等

效边界。

    等效边界由n种颜色构成，则形成了其等效颜色系数Md＝n.

    在实际操作中，我们不仅可以而且应该依据该“等效颜色系数

Md”进行后续Gi的敷色。              

               第四章    三种状态    

    我们可以对第二章的敷色过程,进行即时的上述等效操作：

    一，我们在完成了对G1的敷色以后，图面上仅存有一种颜色1#。

对于后续的Gi，G1的边界可被视为等效边界。此时可有Md＝1.

    后续的Gi敷色时，根据相邻两国颜色不同的约定，理论上可以

敷除1#以外的任何颜色。鉴于此，我们可把对 G1敷色完成以后所形

成的Md＝1的状态，定义为万能态。

    二，由于我们有约定3：必须选用尽可能小的色号。所以，这时

G2 仅能敷以2#色。由此形成了1#2#的相邻状态，此时有Md＝2.

    后续的Gi敷色时，若Gi仅和这里的1#2#两色中的一色相邻，则

可敷以1#2#中的另一色，此时仍呈1#2#的相邻状态，此时也仍有Md

＝2.

    这种1#2#反复不断地相邻的Md＝2的状态，定义为永恒态。

    三，对于这种在1#2#相邻的状态下，后续的Gi与1#2#同时相邻，

这时Gi必须敷以3#。显然，这里有Md＝3.

    不难发现，这时的1#2#3#必然两两相邻！

    这种两两相邻的Md＝3的状态，定义为和谐态。

    这三态即是后续Gi行将与之相邻的等效边界。这里有 Md≤3.

              第五章    结    论

        §5―1    Md≤3所对应的三态，将全程贯穿于所有Gi的敷色

    过程：

    一，设Gi 相邻于万能态时，除去万能态的颜色（或1#或2#或

3#及4#），我们可敷以1#或2#。此时有Mdmax＝2.

    二，设Gi与永恒态中的一色（1#或2#）相邻，此时则须敷以1#

或2#中的另一色。此时仍是永恒态。此时有Mdmax＝2.

    设Gi与永恒态中的两色同时相邻，此时Gi必须敷以3#，此时显                          

有Mdmax＝3.

       三，设Gi与和谐态中的任一色（或1#或2#或3#）相邻，此时则

    须以另外两色中的较小色号者敷之，此时仍有Mdmax＝3. 

    设Gi与和谐态中的任二色（或1#2#或1#3#或2#3#）同时相邻，

此时则须以三色中的另一色敷之，此时也有Mdmax＝3.

    设Gi与和谐态中的三色（1#，2#和3#）同时相邻，此时则必须

引进4#敷之。

    §5―2    以下仅对引入了4#进行讨论,我们以4#替代该Gi:

    4#与1#，2#及3#同时相邻，并把和谐态的三色与外界完全隔离，

即4#呈闭环状。此时由4#的边界构成了这里的等效边界 ，此时等效

边界系数Md＝1.即系统处于类万能态。后续得用1#敷之。

        4#与1#，2#及3#同时相邻，并有和谐态的三色之一（或1#或2#

或3#）处于可与外界接壤状态。此时等效边界系数Md＝2.即系统处

于类永恒态。后续即以1#，2#两色中之合适者敷之。

    4#与1#，2#及3#同时相邻，并有和谐态的三色之二（或1#2#或

1#3#或2#3#）处于可与外界接壤状态。此时等效边界系数Md＝3.即

系统处于类和谐态。后续即以1#，2#及3#三色中之另外一色敷之。

    4#与1#，2#及3#同时相邻，并有和谐态的三色同时处于可与外

界接壤状态。此时4#居以和谐态的三色之中心位置，此时的有效边

界由1#2#及3#构成。此时仍为和谐态。故仍有Md＝3.

    §5―3    由此可见，无论系统引进4#与否，我们总有Md≤3.

也即总有三态轮回，总有色号≤4， 所以我们可有如下结论：

    我们恒有：M≤4. 即

    四色定理成立！

    （全文完）