《实际问题与二次函数——面积最大问题》教学设计

《实际问题与二次函数——面积最大问题》教学设计

刘婕

一、教学目标

结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。

3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

二、教学重点、难点

教学重点：利用二次函数y=（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：1.正确构建数学模型

2.对函数图象顶点与最值关系的理解与应用

三、教学方法与手段的选择

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

四、教学流程

（一）【复习旧知，引入新课】

1. 二次函数的图象是一条        ，它的对称轴是       ，顶点坐标是        .

2. 二次函数的对称轴是     ，顶点坐标是       。当x=    时，y的最   值是       。

3. 二次函数的对称轴是     ，顶点坐标是       。当x=    时，函数有最    值，是      。

4.二次函数的对称轴是    ，顶点坐标是    .当x=    时，函数有最    值，是      。

5 .  二次函数的图象是一条       ，它的对称轴是         ，顶点坐标是        .当a>0时，抛物线开口向     ，有最      点，函数有最      值，是         ；当 a<0时，抛物线开口向     ，有最      点，函数有最       值，是        。

 [设计思路]通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最值。

（二）讲解新课

新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与应用中提高技能几个环节：

1.在创设情境中发现问题

  [做一做]：请你画一个周长为6厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？

做一做中，我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。

2.在解决问题中找出方法

这一环节我设计了：

[想一想]：用总长为60米的篱笆，围成矩形场地，矩形的面积随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？

我把前面矩形的周6厘米改为60米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为l，另一个设为S，其它变量用含l的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。

解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。

3.提高技能

例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？      

例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

（三）巩固升华

1.课本52页  第4题

2.最佳下料问题

有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2  。问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？    

此题目有一定难度，但刚刚学完相似形，教师给出了自变量，大部分同学应该能想到解决办法。      

（四）师生小结

本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数学用数学的信心。

（五）布置作业：

A类  课本52页第5题

B类  课本52页第4题

C类  课本49页探究1